《周易》的科学基石——中国古代数学

尚 惠 民

　　说到中国古代的传统文化，说到中国的国学，总不能不和群经之首的《周易》联系在一起。“一阴一阳之谓道”，阴阳哲学是中国古代传统文化的核心，也是国学的核心。《周易》就是一部讲阴阳变化的著作。《周易》中所有阴阳哲理都蕴含在被称为阴阳爻的阴阳符号中，蕴含在由阴阳两个符号组成的八卦、六十四卦中。而这一哲理又是通过阴阳符号中的数学数理体现出来的。

　　然而，《周易》给人的神秘感和那顶“占筮之书”的帽子，总难免带来一丝不安感。甚至在一些涉及《周易》的文章中，难免给人一种犹抱琵琶半遮面的羞涩感。事实上，只要了解了《周易》阴阳爻及八卦、六十四卦符号产生的数学基础，了解了其中蕴含的客观性、实践性和数学数理的科学性，就完全知道它究竟是一本什么样的著作了，大可不必怕人说你迷信。

　　本文就是在我的《易源探赜》一书的基础上，以《周易》阴阳爻符号与中国古代数学的关系，所作的进一步解读。以期把《周易》从神秘和占筮之说中解放出来，为弘扬中国传统文化，为弘扬国学尽一片心意。

一、     中国古代数学的基本表达形式是方圆

　　中国古代勾股数学的产生，源于立竿测影的天文历法实践，是一种应用数学。它的基本表达图形有两种，一种是内圆外方的“圆方图”形，一种是内方外圆的“方圆图”形。这两种图形在《周髀算经》中都有刊载。而且这两种数理图形在距今6000年前后的新石器文物中都有发现。

（图）：两种圆方图形

　　内方外圆图形，表达的是合矩为方，旋方（或旋矩）为圆的数学方法。用这种数学方法，连续旋方为圆，可以得到能表现二至二分日道关系的三环圆图。在这种三环数学图形中，三环的直径和圆周成等比关系，且外环数是内环数的2倍。考古发现的辽宁牛梁河红山文化三环石坛（距今5000年），就具有这种数理关系。

　　内圆外方图形，表现的圆径和方边相同时一种数理图形。它直接和“勾三股四弦五”这一“商高定理”联系在一起。《周髀算经》中商高在回答周公“天不可阶而升，地不可将尺寸而度”，“数从安出”时，说“数之法出于圆方”。汉代赵爽解释“数之法出于圆方”说：“圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。政圆方邪径相通之率，故曰数之法出于圆方。”

　　按照赵爽的解释，只要知道内圆外方图形中圆的直径数，以古圆周率三数，直径连加三次就是圆周数，连加四次就是方周数。圆周数为勾，方周数为股，勾股数就产生了。那么弦数任何产生呢？沈士龙在《周髀题辞》中说“参两以生勾股”，说的是弦数与勾股数的关系。参，即三；两，即二。在“勾三股四弦五”的弦数五中，包含着“参两”的比例关系。三就是勾数、圆周数；二就是股四的二分之一，是方周的半数即矩的两边数。所以说“参两以生勾股”。因为在所有用内圆外方图形产生的勾股弦算式中，所有的弦数中都存在“参两”的数理，弦数五是最小公约数。所以，勾股圆方数学中弦数的计算方法，就是圆周数加方周数之半即矩数的和数。这就是说，这种特殊的勾股弦数学方法，不是以乘方开方为计算方法，而是用加减方法就可以了。

　　相反，在内方外圆的数理图形中，圆径的求得不但要经过乘方开方，而且还涉及这一复杂的计算问题。对新石器时期的先民来说，这也许是困难的。因此，那些出现在新石器时期的旋方为圆的三环遗迹，可能只有实际的操作意义，很难是经过计算形成的。先民应用的应该是简便的加减方法，即内圆外方的勾股数学方法。

　　随着乘方开方数学方法的产生，人们更注重的是这种数学方法在勾股数学中的应用。对那种原始的简便的加减方法在勾股计算的应用，却渐渐忽视了。然而，《周易》的卦爻符号中用的正是那种简便的加减勾股弦计算方法。当一些学者用“内方外圆”图形和相对复杂的乘方开方数学方法去对待《周易》中的数学问题时，问题就变得复杂了。因此，与真正了解、认识《周易》符号中蕴含的数学数理问题，也只有失之交臂了。

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