孔子“五、十以学易”

作者:洛阳•尚  惠  民  （2009年9月4日） 

    孔子在《论语•述而》中说：“加我数年，五、十以学《易》，可以无大过矣”。五、十两数，是“勾三股四弦五”、“勾六股八弦十”的弦数。五、十数的五行为土，五方为中。河图以五、十居中。“中”是《易经》阴阳理论的核心。孔子表达了希望通过古代勾股数理解释《易》理的愿望。意思是说：“如果再给我几年时间，以五、十勾股弦数学数理学习《易》，就不会出现大的失误了”。因为古人写文章不用标点符号，所以后人错误的认为五、十两个数为五十。结果孔子的话被错误解释为：五十岁学《易》，就能做到无大过错。造成这种错误解释的根本原因，是因为不了解《易经》卦爻产生的数学基础。

    据《史记•孔子世家》记载：孔子晚年喜《易》，留下了“韦编三绝”的佳话。“绝”是断，“三”表示多。“韦编三绝”，是说孔子读《易经》过程中，因为反复阅读，编系《易经》竹简的绳子断了多次。用今天的话说，就是好几本《易经》都被孔子读破读烂了。可见孔子读《易经》这本书是非常认真的。孔子“晚年喜《易》”。“晚年”，应该不会小于五十岁。何以再有“加我数年，五十岁以学《易》”之说。孔子游说于诸侯之间十四年，返回鲁国时已经是六十多岁了。因此，“五、十以学《易》”，决不可解释为“五十岁以学《易》”。相反，根据《说卦传》：“圣人之作易也……参天两地而倚数”和《易经》阴阳爻及乾坤卦数理之间存在的圆方勾股数学的弦数数理，说明孔子说的“五十”应该是五、十两个数。“参天两地”，即“参两”奇偶数。“参两”是古代圆方勾股数学弦数中的三、二比例关系。“勾三股四弦五”、“勾六股八弦十”的弦数五和十，都存在“参两”的比例关系，即：三比二、六比四的“参两”比例关系。《说卦传》说的“参天两地而倚数”和孔子说“五、十”数，都是指的圆方勾股数学的弦数。“五、十以学《易》，可以无大过矣”，是孔子晚年在对产生和形成《易经》卦爻的数学数理深刻认识后，对学习《易经》进行的反思，是对从勾股数理入手深入学习《易经》作成的正确论断。 

　　中国古代的圆方勾股数学数理，是破解《周易》奥秘，步入古代智慧殿堂的钥匙。孔子的话，道出了解读《易经》卦爻符号及其哲理的秘密。遗憾的是孔子未能实现他的愿望，而后人因为不了解《周易》产生的数学基础，误以为孔子说的是“五十岁以学《易》”。结果至使“群经之首”、中华传统文化活水源头的《易经》，在二千多年的流传中，虽然发挥“义理”者代不乏人，研究“象数”者不计其数，著述多达数千种，但对《易经》本经的解释却始终是众说纷纭，莫衷一是。甚至使《易经》符号和文字的整体出现了“象数”与“义理”的分裂。

　　中国古代的圆方勾股数学产生的历史非常久远。根据考古的资料，这一数学产生的年代，可以上溯到距今六七千年前的仰韶文化时期。从《周髀算经》中，我们可以理解中国古代圆方勾股数学的基本特征。这种特征可以概括为： 
　　两种数理图形，即：“内圆外方”形和“内方外圆”形； 
　　两个基本算式，即：“勾三股四弦五”和“勾六股八弦十”； 
　　两种计算方法，即：加减法和整除法（乘方、开方法）。 

　　从加减法到乘方、开方的乘除法，是古代勾股数学的发展过程。加减法勾股数学的数理图形是“内圆外方”。《周髀算经》：“数之法出于圆方”，“圆径一而周三，方径一而匝四，伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，斜适弦五”。就是从“内圆外方”到勾股的方法。因为圆径和与圆径相等的方边，是已知条件。古圆周率为三，圆径连加三次就是圆周数、勾数；方边连加四次就是方周数、股数。由于在圆方勾股数学中，所有的弦数都是五的倍数，都具有“参两”之比的数理特征，因此弦数就是圆周（勾）数与方周（股）数之半（矩）相加后的和。由“内圆外方”产生的圆方勾股弦，是勾股数学中的特例。由特殊到一般，而后产生的是乘方、开方法基础上的勾股数学。乘方、开方（乘除）法对应的是“内方外圆”的数理图形。因为要求圆周，要先求圆径，即内方的对角线，这就必然涉及到乘方、开方的乘除法。 

　　“勾三股四弦五”和“勾六股八弦十”两个勾股弦算式，既符合加减法的圆方勾股法，又符合乘方、开方的乘除法。作为加减法的圆方勾股弦算式，它们分别是圆径一和圆径二的勾股弦数，其中弦数五是三、二之和，即圆周（勾）三与方周（股）四之半（矩）二的和数；弦十是圆周（勾）六与方周（股）八之半（矩）四的和数。三、二，六、四都是“参两”之比。“勾六股八弦十”，又是立竿测影时，髀表八尺、表影六尺，以表影为勾，以髀表为股，产生的勾股弦数。作为乘除法，“勾三股四弦五”和“勾六股八弦十”又符合乘方、开方的勾股数学关系，即：

　　中国古代的圆方勾股数学是适应天文历法的需要而产生的。在尚无文字工具的上古时期，圆方勾股数学既是先民观测日月运行进行历算的数学工具，也是先民用来表达思想认识的文化工具。天动为圆，地静为方。“圆方者，天地之形，阴阳之数”。古代圣人是为“崇德”、“广业”，效法天地而作《易》的。因此，《易经》用圆方勾股数学作为表达和说理的工具，是很自然的事情，是“易简”、“易知”的简易方法。 

　　从考古发现的材料中我们知道，上古先民表现圆方勾股数学数理关系的基本图形是圆、方、矩。矩是方周的一半。如果用这种圆周、方周、矩的图形来表现圆方勾股数学的勾股弦关系，就可以产生下面的算式，即： 
 ， 
　　合矩为方。方由两个矩组成，方可以用两个矩表示，算式则成为： 

  
　　伸圆周为勾，展方周为股，“共结一角”，形成的是三角形的勾股弦图形。圆周首尾相接，伸展为一直线；方周四边，伸展为四条短线；矩两个边，伸展为两条短线。即： 
 　　；；
　　用圆、方、矩伸展后的线形图形，作为勾股弦的“代数”符号，上面的算式则可以表示为： 
　　①   
 
　　在算式①中，圆周伸展的图形“—”和矩伸展的图形“--”,与《易经》的阴阳爻（—、--）符号之间，在形式上没有差别。如果我们再把《易经》阴阳爻名称中的九、六数和阴阳爻策数的三十六、二十四分别代入算式①中，奇迹就出现了。所得的两个算式完全成立，即：

    
 
　　不仅上述算式成立，而且九与六、三十六与二十四之间都存在“参两”即三比二的数理关系。同时，九、六是圆、方径三的圆周数和方周的半数，所对应的是圆径3的“内圆外方”勾股数理图形。同样道理，三十六、二十四对应的是圆、方径12的“内圆外方”勾股数理图形。 

　　这一事实说明，《易经》阴阳爻符号的产生直接来源是圆方勾股数学的圆周（○）和矩（Ｌ）的伸展，而且阴阳爻相合是以弦数的形式存在。以五为基础的圆方勾股数学的弦数，其“参两”之比的奇偶关系，成为阴阳对峙的数理基础，弦数表现了阴阳的统一性关系。五为天地阴阳交午之中。五数五行为土，土居中央。弦数五的基本数理，成为《易经》表现阴阳合和谓之“中”的“中道”观的象数形式。 

　　进一步研究会发现，在八卦的乾坤二卦之间，也存在着圆方勾股数学的数理关系，即 
　　②  

 
　　乾坤卦之间的这种数理关系，可以看作是由表现二至二分日道数理关系的九重差三环圆周，三重方周和三重矩的图形形式的算式：　
 ， 
　　伸展变化而形成的。   

　　算式①②中表现出来的阴阳爻及乾坤卦之间存在的这种勾股数学关系，说明中国古代的圆方勾股数学是产生和形成《周易》的数学基础。因为《易经》建立的天地人数理模型，体现的是在天文历法实践中产生的对天地阴阳规律的认识，表达的是“与天地合其德，与日月合其明，与四时合其序”的自然哲理，所以用圆方勾股数学数理作为表达思想认识和说理的工具，是顺理成章的。《易经》中的圆方勾股数学基础，不仅表现了中国古代阴阳哲学产生的实践认识过程，而且使中国的中古文化上溯到上古，与上古文化联为一体。《易经》的阴阳哲理、天人合一思想和后来的易学，又使中华上下五千年的文化融为一体。在中国古代的诸多经典中，能贯通上下五千年，使中华文化一万年不中断的唯《易经》莫属。 

　　鉴于《周易》卦爻中的存在的圆方勾股数学数理关系，孔子又是针对学《易》提到“五、十”两数的，因此从古代圆方勾股数学的弦数中去理解孔子所说的“五、十”数才是合理和正确的。 

　　《说卦传》：“昔者圣人之作易也，幽赞于神，明而生蓍，参天两地而倚数。”“参天两地”，是三、二奇偶数，指的是圆方勾股数学弦数中的“参两”比例关系，即即3比2的数理关系。这段话的意思是说：圣人作《易经》，考虑到其中的阴阳道理比较难懂，使人感到神秘，依据勾股数学中具有“参两”比例关系的弦数作为卦爻的数理进行说明，就可以明白了。“参天两地”，即“参两”既是圆方勾股数学弦数中蕴含的比例关系，也是弦数和“参两以生勾股”的计算方法。因此，《说卦传》说的“参天两地而倚数”，与孔子说的“五、十”弦数是一致的，都是针对形成《易经》的数学基础而言的。 

　　《易经》以“象数”作为说理形式，体现的是中华先民的思维方式。“象”，即物象。以物象进行比拟、说理，谓之“象”。数是数学的基础。数和数之间的关系，构成数学。适应古代天文历法需要产生的圆方勾股数学，是中国古代文化的重要组成部分。它既是先民认识自然规律的工具，也是表达思想认识的工具。因此，《周易》的卦爻符号，不但是阴阳观念和物象、时空之象的代表符号，也是数学数理的“代数”符号。卦爻中的数，包含着圆方勾股数学的数理关系。圆方勾股数学数理，既是构成《周易》的数学基础，也是我们打开《周易》智慧大门的钥匙。所以，孔子才说：“加我数年，五、十以学《易》，可以无大过矣”。 

　　《系辞传》说：“参伍以变，错综其数，通其变，遂成天地之文。极其数，遂定天下之象。”“参伍”，即三、五。三五，一十五。十五中包含的五、十两数，与孔子说的“五、十以学《易》”一致。“天地之文”，就是天地阴阳的变化。十五又是阴阳爻九、六两数的合数，它既是二十四节气的一气之数，又是“勾九股十二弦十五”中的弦数。“勾九股十二弦十五”是圆方径三、圆周九、方周十二时的勾股弦数。气数，就是历法中的历数。十五既是气数，又是弦数。弦数生勾股，勾股连着圆方。圆方为天地之象，为日月运行、四时阴阳变化之象。因为阴阳爻中不但包含十五数，而且包含着五（一候之数）、六十数（甲子周期数）。五、十五、六十作为历数，是先民对自然天时认识的成果，反映了古代阴阳观念的产生与天文历法实践之间的关系。《周易》卦爻中的数和勾股弦数学数理，都可以简化用“五、十”两数表达。孔子“五、十以学《易》，可以无大过矣”的结论，不但表明圆方勾股数学数理是《周易》阴阳爻和八卦的枢纽，也是打开《周易》智慧宝库的钥匙。 

　　从“卦”字和“爻”字中、我们也可以发现卦爻与五、十数的联系。卦字是立竿测影的象形字。“圭”与“卜”组合成“卦”字。“圭”为土圭，“卜”，是表竿与表影的形象。二土为“圭”。土数五，合五为十。“圭”字中包含着五、十数。五、十数是“勾三股四弦五”、“勾六股八弦十”的弦数。因此，卦字体现了立竿测影与勾股数学方法的密切关系。 

　　炁交为爻。爻字由两个五字组成。五，在甲骨文中写作（），即天地交午之象形。《说文》说：“五，五行也。从二，阴阳在天地间交午也”。阴阳爻的“爻”字，上下两个“×”，即由两个五（）字组成。合五为十，所以爻字中也包含着五、十两数。也就是说，爻字中也蕴含着“勾三股四弦五”、“勾六股八弦十”的弦数。 

　　从卦、爻二字和《周易》卦爻中存在的圆方勾股数学数理，都可以说明中国古代的勾股数学是构成《周易》卦爻符号体系的数学基础。 

 　“加我数年，五、十以学《易》，可以无大过矣”，说明孔子晚年已经意识到勾股数学数理与《周易》的关系，意识到圆方勾股数学对正确认识和了解《周易》智慧的重要性。虽然孔子没有实现自己的愿望，没有留下用五、十勾股数学数理解释《周易》的文字，但还是为我们指出了学习《周易》的方向。 

　　回顾《易经》产生后两千多年易学的发展过程，虽然在易理的研究方面取得了很大的进步，易学对中华文化的发展起到了巨大的影响。但作为群经之首的《易经》本经却仍然让人读不懂，让人感到神秘，甚至大多数国人视为迷信之书。这难道不是孔子说的“大过”吗？究其原因，就是忽视了其中的勾股数学数理方法，违背了孔子“五、十以学《易》”正确论断。在认知上产生了偏差，导致学习方法出现了问题。潘雨廷说：“今当尽力说明象数之理以减少其神秘感，庶可易简而得天下之理，以起象数应有的作用，决不可再增加神秘感”①。（潘雨廷：《周易原理与古代科技》序）。赵定理先生也说：“道德阴阳学说，有古天文历律规律的内涵，就内涵有古天文天算的数学规律”，“有当今科学的基础科学之一的数学内涵”和“物理内涵”②。表明当代学者已经意识到“说明象数之理”的重要性，并开始注意到象数中的数学数理问题。 

　　从圆方勾股数学数理入手，不但是学习《易经》的正确途经和方便法门，而且是从整体上把握其中的方法论，打破“象数”与“易理”对立的壁垒，扫除神秘之说，改变“占筮之书”的认识，恢复其“智慧宝典”庄重面貌，突显中华传统文化科技内涵的重要环节。 

　　作为炎黄子孙，在人类进入数字化时代的二十一世纪，在中华民族弘扬传统文化、迎接民族复兴的历史大潮中，我们结合中国古代的天文历法和圆方勾股数学，有幸发现了《易经》卦爻中存在的圆方勾股数理关系，并以《易源探赜》③一书为研究成果，作为弘扬中华文化的实际行动，告慰至圣先师的孔子和创造中华文化的先贤们。同时，也希望通过此文与诸多学易者共同探讨。 

注： 
① 潘雨廷：《<周易原理与古代科技>序》。《周易原理与古代科技》，鹭江出版社，1990年。第2－3页。 
② 赵定理：《中华自然哲学的数理原理》，光明日报出版社，2003年。第5、7页。 
③ 尚惠民：《易源探赜》，解放军外语音像出版社出版，2008年10月。 
（此文是在今年五月写的文字基础上增改而成。原文曾以学生田野名收在国际易学联合会2009“易学论坛”的论文集中。） 

(作者授权河洛文化网首发,转载请注明作者和出处.)

本文来源：河洛文化网
责任编辑：Xiaohe